Fraktali u nama, mi u njima

Zašto nam oblaci izgledaju tako mekani, zašto je voda providna, trava zelena, nebo plavo, zašto je sapunica sastavljena od balončića koji su sve sitniji i sitniji i sitniji... Rasplinjuje nam se mašta, budi se intrigantnost, poterani smo na razmišljanje. No, zaboravimo sada na istraživanje, a razmislimo samo o lepoti prirode. Razgledajmo malo tu lepotu. Uzećemo list paprati. On je sastavljen iz mnoštva nekakvih rebara. Posmatrajmo jedno rebro – ono je sastavljeno, opet, od listića u vidu rebara, a oni opet od novih i sve manjih i manjih. To su fraktali.

Pogledajmo sad - brokoli. Njegovo mnoštvo zelenih cvetova sačinjeno je od mnoštva zelenih cvetova koje čini mnoštvo zelenih cvetova i još dublje. To su fraktali u tri dimenzije. Stablo drveta se grana na sve manje i manje grane i grančice. Naš sistem krvnih sudova je sličan drvetu, zatim plućni sistem, pa onda izgled DNK, sapunica, kristalisani med, listovi mnogih biljaka, slika munje, pahuljica, leopardove šare. A šta su zapravo fraktali?

FRAKTALNA DIMENZIJA Fraktalna dimenzija opisuje izlomljenost, to jest hrapavost objekta. Ona se razlikuje od Euklidske dimenzije. Dok Euklidska dimenzija može biti samo ceo broj, fraktalna dimenzija obuhvata i racionalne brojeve, pa može biti na primer 1,26. Aluminijumska folija je ravan i ima dimenziju 2. Ali kada je zgužvamo i od nje napravimo nešto nalik na hrapavu i rupičastu kuglu, ulubljenu sa svih strana, ona nema dimenziju ni 2 ni 3 nego neki broj između.

Deo i celina

Identična slika ove prirodne lepote ustanovljena je u matematici. Preciznu matematičku definiciju dao je matematičar Mandelbrot u sledećem obliku – Fraktali su skupovi tačaka čija je fraktalna dimenzija veća nego topološka dimenzija.

To su, zapravo, objekti koji, kada se uveličaju, sami sebe sadrže. Kada pogledaš jedan njegov deo, on izgleda slično ili potpuno isto kao početni oblik i takođe je sastavljen od istih takvih oblika sve manjih i manjih do u beskonačnost (ili bar dok priroda ne kaže stop deljenju, a za naše oči to je nekada prilično beskonačno).

Sav svet oko nas i unutar nas je zapravo sastavljen od nekog vida fraktala. Mogli bismo reći čak i da je metodika našeg razmišljanja fraktalna! Razmislite o tome.

Kratka istorija

Još je antički astronom i matematičar Apolonije uvideo da unutar jedne kružnice možemo upisati beskonačno mnogo manjih kružnica koje se dodiruju i time uveo fraktale u matematiku. Kasnije, fraktalna struktura pominje se u 17. veku u Lajbnicovim radovima.

Otac fraktala

U 19. i početkom 20. veka razni matematičari se bave crtanjem i proučavanjem fraktalnih oblika. Tada su nastale Kohova pahuljica, trougao Serspinskog i tepih Serspinskog, Hilbertova kriva. Tek razvojem kompjutera ova umetnička oblast matematike mogla je da dođe do izražaja.

Benoa Mandelbrot, kojeg smo pomenuli, smatra se ocem fraktala. On im je osim definicije 1975. godine podario i ime – latinski fractus znači razlomljen, slomljen, polomljen. Ovaj sjajni matematičar rođen je 1924. u Varšavi. Danas živi u Americi, član je više akademija nauka i penzionisani profesor na Univerzitetu Jejl.

Koliki je njegov značaj za eru u kojoj živimo govori činjenica da je Mandelbrotov skup najpoznatija slika proizišla iz matematike našeg doba i može se apsolutno smatrati kulturnom ikonom ovog vremena. Zanimljivo je čitati intervjue koje je dao ovakav čovek, a možete ih preuzeti sa sajta http://www.math.yale.edu/mandelbrot.

Gde ih koristimo?

Elektrièni proboj u pleksiglasu

Danas su fraktali našli iznenađujuće mnogo primena. U nauci nema oblasti gde se ne koriste njihove funkcije za opisivanje prirodnih fenomena. Oni tu gube svoju slikovitost i postaju puko oruđe za, na primer, objašnjavanje funkcije dobijene eksperimentom. U fizici su se tako uvukli gde god je bilo slobodnog mesta.

Koriste se u seizmologiji, biologiji, pa čak su i u medicini postali poželjna alatka. Naši mobilni telefoni imaju antenu koja je u obliku fraktala i zauzima malo mesta, ali obuhvata širok opseg frekvencija. Prisutni su i u grafičkom dizajnu, a sve ih više ima u umetnosti.

Fantastične, nestvarne slike dobijaju se uz pomoć fraktala uglavnom Mandelbrotovog tipa. U grafičkom dizajnu uz njihovu pomoć dobijaju se realistični prizori iz prirode – planine, oblaci, drveće. Ima ih u video igricama, na hipi majicama, maskirnim uniformama. Svako ko želi može da crta ove matematičke smicalice uz pomoć programa Fractal Explorer.

Kosmologija

Jedno od ključnih pitanja moderne kosmologije je da li svemir na velikim skalama ima fraktalnu strukturu. Drugim rečima – kada bismo čitav svemir nacrtali na jednom papiru (napravimo mapu svemira), da li bi on imao oblik fraktala ili bi bio gladak – homogen i izotropan.

Naučnici se slažu da svemir ima fraktalnu strukturu na malim udaljenostima – do 5 Mpc. Pitanje je da li na većim udaljenostima on postaje gladak i ako je tako, na kojoj udaljenosti je taj prelazak. To je od velikog značaja jer ukoliko se na velikim skalama otkriju fraktalne strukture, Standardni kosmološki princip da je materija raspoređena homogeno i izotropno, na koji se oslanja većina istraživanja u kosmologiji, morao bi biti izmenjen. Istraživanja daju oprečne rezultate.

Red u neredu

Fraktal List

U svakodnevnom životu haos je nešto što smatramo neprijatnim. On predstavlja nepredvidivo ponašanje, potpuno otrgnuto od naše kontrole. U nauci, takođe, on se dugo izbegavao. Sistemi u kojima je učestvovalo previše nepoznatih parametara bili su sasvim nerešivi, a ponašanje čestica u njima izgledalo je nasumično, haotično.

Predviđanje vremenskih prilika dugo je bilo nemoguće. Nije bilo dovoljno ni angažovati vojsku pomagača (kompjuteri) da nam reše sisteme. Jednačine haosa su nelinearne, ekstremno osetljive na početne uslove, a uzrok i posledica im nisu samerljivi. Tek kada je u njihovo rešavanje uvedena fraktalna geometrija, na neki način smo uspeli da uđemo u trag ponašanju haotičnih sistema. Uz pomoć fraktalne geometrije haos je determinisan.

Zafraktalisanje

Fraktal Brokoli

Osvrnuli smo se oko sebe, zagledali u sebe, nešto smo kreirali, a nešto je sačinilo nas ili, drugim rečima, zafraktalisali smo se i rasfraktalisali, pa primetimo - fraktali čine nas dok mi činimo njih!

Ili obrnuto.

Zapitajmo se ko je tu stariji.

Jedini zaključak koji možemo da donesemo a da ne utonemo u apatiju vrtloga, u samozadovoljstvo depresije je da ''starost'' ne postoji na relaciji fraktali-mi, već da se jedino može definisati poznajući nadskup i prizivajući ga sa zahvalnošću što učestvujemo u svoj toj lepoti.

Kohova pahuljica

KOHOVA PAHULJICA U matematici se fraktali dobijaju ponavljanjem određene radnje nad funkcijom ili nad geometrijskim objektom. Primer koji daje najslikovitije objašnjenje je Kohova kriva. Algoritam za njeno crtanje je sledeći nacrtati duž i podeliti je na tri jednaka dela, srednji deo zameniti dvema dužima iste dužine kao zamenjeni deo, nad svakim delom novog objekta, a ima četiri dela, ponoviti istu radnju.

Linkovi

Nekoliko zgodnih linkova o fraktalima:

• http://classes.yale.edu/fractals
• http://www.math.yale.edu/mandelbrot
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
• http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal
• http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
• http://e.math.hr/galerija/galerija_print.html