Astronomija kao harmonija

Ko je bio Moric K. Esher? Esherov čudesni svet predstavlja vrhunski primer produktivne interakcije naučnog i umetničkog duha u zajedničkom poduhvatu kreiranja autentičnih stvaralačkih vrednosti.

Piše: Dr Milan M. Ćirković

“Konjanici” (1946) – jedna od mnogobrojnih Esherovih varijacija na temu topološkog problema popločavanja ravni, ovde sa dodatnim “okretajem zavrtnja” u vidu Mebijusove trake.
“Konjanici” (1946) – jedna od mnogobrojnih Esherovih varijacija na temu topološkog problema popločavanja ravni, ovde sa dodatnim “okretajem zavrtnja” u vidu Mebijusove trake.

Ako napravimo anketu među naučnicima sa pitanjem koji je likovni umetnik u istoriji čovečanstva najviše doprineo povezivanju i interdisciplinarnom dijalogu prirodnih nauka i umetnosti, sva je prilika da će najpopularniji odgovor biti Moric Kornelijus Esher, holandski slikar i grafičar (Maurits Cornelius Escher, 1898-1972).

Međutim, kod nas on još uvek nije u dovoljnoj meri poznat. Iz tog zla poslovično može proizaći i jedno dobro. To je ispravka često korišćenog fonetskog izgovora njegovog prezimena “Ešer” u pravilnije “Esher”. 

No, nije nimalo slučajno da ćete, prelistavajući knjige iz popularne nauke, neočekivano često naići na Esherove grafike. Mnogobrojni popularizatori nauke, uključujući i one najveće, poput Karla Segana, Stivena Hokinga, Rodžera Penrouza ili Stivena Džej Gulda, koristili su upravo ilustracije ovog genijalnog likovnog umetnika da bi svojoj publici dočarali neintuitivne aspekte savremene nauke, one gde jedna slika vredi i više od poslovičnih “hiljadu reči”.

»Talenat i sve ostalo su većim delom gluposti. Svaki školarac kome je podareno malo više sklonosti od mene uspeva da crta bolje, ali mu gotovo uvek nedostaje uporna volja da tvrdoglavo škrguće zubima dok mrmlja: Iako znam da se to ne može uraditi, svejedno želim da ga uradim«

M. K. Esher, u pismu sinu Arturu 12. XI 1955.

Naročito oživljavanje interesa za Eshera u ovom interdisciplinarnom kontekstu nastupilo je nakon objavljivanja, 1980. godine, prvog izdanja već klasične knjige Daglasa Hofštatera “Gedel, Esher, Bah – Večita zlatna nit”; ova prelepa knjiga nije samo dobitnik Pulicerove nagrade, već je učinila izuzetno mnogo na afirmaciji sve trojice velikih stvaralaca iz svog naslova (naročito prve dvojice, koji su u prethodnim decenijama bili umnogome underground heroji), kako među naučnicima, tako i među širom publikom zainteresovanom za nauku. Od tada do danas je ovaj “žanr” interdisciplinarnih studija uzeo šireg maha, te su, između ostalog, u više navrata organizovane međunarodne konferencije koje su se bavile proučavanjem Esherovog dela u različitim naučnim kontekstima.

U tom duhu, ovde ćemo, nakon biografskog skeča, učiniti samo veoma kratak i nužno subjektivan izbor iz nekih od tema Esherovog dela vezanih za prirodne nauke, a naročito astronomiju.

Skica za biografiju

Slika 1. Moric K. Esher u svom studiju, snimljen 1963. godine.
Slika 1. Moric K. Esher u svom studiju, snimljen 1963. godine.

M. K. Esher rodio se u malom gradiću Leuvardenu u holandskoj provinciji Frizland 1898. godine u građanskoj porodici građevinskog inženjera G. A. Eshera i njegove druge supruge Sare. Kada je Moricu bilo 5 godina, porodica se preselila u Arnhem, gde je proveo najveći deo detinjstva i mladosti.

Iako je od malih nogu bio izuzetan u crtanju, njegove ocene u školi su generalno bile veoma loše, i čak je ponavljao drugi razred srednje škole! 1919. godine Esher je uspeo da se upiše na Haarlemsku školu (fakultet) arhitekture i dekorativnih umetnosti. Kratko je studirao arhitekturu, ali je ubrzo prešao na primenjene umetnosti i studirao pod rukovodstvom Samuela de Meskite, umetnika sa kojim je postao dugogodišnji prijatelj. Esher je 1922. godine napustio fakultet, bez diplome, ali kako je kasnije naglašavao sa značajnim iskustvom u tehničkim elementima crtanja, grafike i, naročito, drvoreza.

Esher je redovno putovao u Italiju tokom narednih godina. Upravo je u Italiji na jednom od putovanja susreo Jetu Umiker, sa kojom se venčao 1924. godine i tokom skoro pola veka braka imao tri sina. Mladi bračni par se naselio isprva u Rimu i tamo ostao sve do 1935. godine, kada je politička klima pod Musolinijevim režimom postala znatno zaoštrenija. Porodica se potom preselila u Šato d'Eks u Švajcarskoj, gde su ostali nešto manje od tri godine. Esher, koji je izuzetno voleo pejzaže i atmosferu Italije, osećao se izrazito nesrećnim tokom boravka u Švajcarskoj, tako da se 1937. godine porodica ponovo preselila, u Ukel, gradić u blizini Brisela, u Belgiji.

Slika 2. Jedan od nekoliko Esherovih autoportreta, drvorez iz 1923. godine
Slika 2. Jedan od nekoliko Esherovih autoportreta, drvorez iz 1923. godine

Drugi svetski rat ih je, međutim, prinudio da se još jednom presele, ovaj put u januaru 1941. godine u Baarn u Holandiji, gde je Esher živeo sve do 1970. Većina Esherovih poznatih slika datiraju iz ovog perioda. Ponekad maglovito, hladno i vlažno vreme u Holandiji mu je omogućilo da se fokusira intenzivno na svoj rad, i jedina godina iz koje ne datira nijedno njegovo delo je 1962, kada je preživeo ozbiljnu hiruršku intervenciju.

Njegov rad ostao je nezapažen sve do 1950-tih godina, i 1956. godine organizovana je vrla njegova velika izložba koja je doživela svetsku slavu. Od tada, njegova slava je u neprekidnom usponu, o čemu svedoče mnogobrojni zahtevi za postavljanjem njegovih grafika u enterijerima i na fasadama javnih ustanova, poput čuvenih “Metamorfoza” na zidu glavne pošte u Den Hagu u dužini od čitavih 58 metara (!), oslikanih 1968/69. godine.

Esher se 1970. seli u selo Laren u severnoj Holandiji, gde postoji starački dom za umetnike u kome ima sopstveni atelje. Umro je u 73. godini života, 27. marta 1972. Kao i kod mnogih velikih umetnika – ali i naučnika – istinsku slavu postigao je tek nakon smrti, mada se, na našu sreću, za razliku od Baha, Vermera ili Van Goga, taj interval merio godinama, a ne decenijama i vekovima.

Esherova astronomija

Slika 3. Esherov posmatrački dnevnik, stranica iz sveske za 1944. godinu
Slika 3. Esherov posmatrački dnevnik, stranica iz sveske za 1944. godinu

Jedna od svakako najmanje poznatih činjenica u vezi sa Esherom jeste njegovo amatersko bavljenje astronomijom. Ono je bilo posebno intenzivno nakon njegovog povratka u Holandiju, gde je imao nekoliko malih teleskopa i postao član holandskog Društva za meteorologiju i astronomiju.

Esher je po svim svedočanstvima bio veoma kompetentan astronom amater koji je sa prilično pažnje i truda pristupao ovom svom hobiju, što se između ostalog vidi i iz sačuvanih dnevnika posmatranja koji je pažljivo vodio (Slika 3).

Kao i kod drugih poznatih astronoma-amatera među velikim ljudima (poput, npr. američkog pisca Hauarda Lavkrafta ili britanskog biologa i polihistora Džona B. S. Holdejna), astronomija je imala dvojaku ulogu u njegovom životu: ne samo što mu je kao i svaki drugi hobi obezbeđivala neophodno opuštanje od teškog (i stvaralački i fizički, posebno za osobu tako krhkog zdravlja) rada na grafikama i duborezima, već je i predstavljala, kao što ću pokušati da dočaram u ostatku ovog teksta, izvorište bar jednog dela njegove bogate inspiracije.

Slika 4. “Drugi svet” (1947)
Slika 4. “Drugi svet” (1947)

Posmatrački dnevnik ukazuje uglavnom na posmatranja dvojnih zvezda, od kojih su neke, poput Gama Andromede ili Eta Kasiopeje, poznati objekti od interesa i za profesionalne istraživače. Esher pažljivo beleži trajanja posmatranja, magnitude objekata (komponenti dvojnih/višestrukih zvezda), njihov geometrijski položaj, vizuelnu boju i eventualne druge komentare. Sve je to daleko više informacija od prosečnog astronoma-amatera. U dnevniku je beležio da je često izlazio na posmatranja oko ponoći i ostajao do prvih svetlosti praskozorja, oko 4 ujutru. U belešci za 18. juli 1944, on zapisuje posmatranja čak 15 dvojnih zvezda, od kojih je uspeo da vizuelno razdvoji 14, kao i poznate planetarne magline Prsten u Liri (za koju je u dnevniku zapisao: “Podseća me na blago utisnuti otisak prsta na nebeskoj kupoli.”)

Pored toga, postoji obilje odlomaka iz njegovih predavanja i pisama u kojima pominje različite astronomske fenomene. U poznatom predavanju u kome opisuje svoje putovanje u zapadnu Kanadu (kroz Panamski kanal!) teretnim brodom tokom 1960. godine, Esher priča o usputnim posmatranjima brojnih zvezda, naročito onih sa južne nebeske hemisfere, nevidljivih iz Holandije.

Slika 5. “Zvezde” (1948)
Slika 5. “Zvezde” (1948)

Takođe beleži i posmatranja konjukcije planeta, a povrh svega se nalazi dramatična priča o mnogim uzaludnim pokušajima, i konačnom uspehu da (24. septembra 1960.) posmatra čuveni “zeleni blesak” – poslednji zrak zalazećeg Sunca koji se, pri jako retkim posmatračkim uslovima, na neobičan način prelama u atmosferi i daje čudnu zelenu boju. Mnogo govori izjava tako velikog vizuelnog umetnika kakav je Esher bio da “iako se radi o zadivljujućem iskustvu, nikada ne bih bio u stanju da ga naslikam”.

Astronomske teme su eksplicitno prisutne u više njegovih dela – “Drugi svet” ili “Zvezde” (Slike 4 i 5) su dobri primeri za početak. “Zvezde”, drvorez napravljen 1948. godine, predstavlja žičanu konstrukciju tri kompozitna oktaedra koja lebde u svemiru sa dva kameleona unutar njih, uz očigledno isprepletanje motiva promenljivosti i nepromenljivosti.

U pozadini vidimo mnogobrojne druge poliedre, uključujući dva ikosaedra (pravilna tela koje gradi 20 pravilnih trouglova). Jedna od manjih zvezda u donjem desnom uglu slike predstavljena je solidnim oktaedarskim 3-kompozitom. Dva zvezdasta osmougla (lat. Stella octangula) se pojavljuju, a tu su još i kuboktaedar, rombikuboktaedar, deltoidni ikositetraedar i čitava gomila drugih egzotičnih stanovnika ovog “geometrijskog zoološkog vrta”.

Slika 6. “Kubna podela prostora” (1952) predstavlja jednu od najboljih ilustracija mogućnosti fleksibilne promene samog prostora (kao kod Hablovog širenja)
Slika 6. “Kubna podela prostora” (1952) predstavlja jednu od najboljih ilustracija mogućnosti fleksibilne promene samog prostora (kao kod Hablovog širenja)

Jasno je da Esher ovde naglašava skrivenu vezu geometrije i fizičkog uređenja našeg sveta – to što se nama čini da zvezde i druga nebeska tela nisu više ili manje pravilne geometrijske figure izraz je specifično ljudske – i kao takve ograničene – percepcije; pravi jezik uređenja svemira je geometrijski. Ne treba ni naglašavati da je savremena nauka, od Ajnštajna naovamo, mnogo puta potvrdila ovaj ključni (meta)fizički uvid.

Još suptilnija je, međutim, igra vezana za “Tetraedarski asteroid” i “Koncentrične kore” (Slika 10 i 11). O prvoj grafici sam Esher u svojim poznatim predavanjima o “Pravilnoj podeli ravni” govori:

»Neka imamo planetoid koji nastanjuju ljudi i koji ima oblik nalik na tetraedar. Vidimo dve njegove strane oblika trougla; zajedno obrazuju kvadrat, koji okružuje loptasta atmosfera, iz koje izlaze samo uglovi. Izgleda da ljudi i na toj visini mogu da dišu. Otisak nema “gore” i “dole”: može se okretati u svim smerovima, budući da su uspravne linije usmerene ka centru teže planete, a sve vodoravne površine jesu delovi kalote lopte«.

Naravno, ono što je zanimljivo jeste da je Esherova umetnička imaginacija uobličila ovu viziju skoro dve decenije pre čuvene ideje Džerarda O'Nila o kreiranju veštačkih habitata u svemiru (i, posredno, brisanja razlike između prirodnog i veštačkog). Na sličan način zagonetne “Koncentrične kore” sedam godina prethode poznatoj ideji velikog fizičara Frimena Dajsona o izgradnji “Dajsonovih sfera” – Esher je tako i nehotice unapred dao najlepše likovne prikaze poduhvata budućeg astro-inženjeringa!

Esherova kosmologija i intuicija neintuitivnog

Slika 7. “Kružni limit IV” (1960) – svet čija je unutrašnja geometrija zapravo hiperbolička geometrija Lobačevskog
Slika 7. “Kružni limit IV” (1960) – svet čija je unutrašnja geometrija zapravo hiperbolička geometrija Lobačevskog

Dobro je poznato da su mnogi od najtežih problema nastave savremene matematičke fizike vezani za koncepte neeuklidskih (i generalno zakrivljenih) prostora – ljudska intuicija prostora jednostavno je, kako je najdetaljnije obrazlagao Imanuel Kant, odveć intimno vezana za “obični” euklidski prostor našeg svakodnevnog iskustva da bi mogla – barem ne bez ogromnih poteškoća – predočiti drugi oblik tako temeljnog fenomena kakav je sam prostor.

Naravno, iz tog ispravnog uvida nikako ne sledi docniji Kantov pogrešan zaključak da je zbog toga ljudskog saznajnog ograničenja euklidska geometrija a priori povlašćena u samoj ontologiji svemira!

Kako onda predočiti tako suštinski pojam zakrivljenog prostora koji, od Ajnštajna naovamo, predstavlja neophodan sastojak naše fizičke slike sveta? Jedan od najuspešnijih načina, i heuristički i pedagoški jeste – obratiti se Esheru.         

Kako se njegov rad razvijao, on je nalazio veliku inspiraciju u matematičkim idejama o kojima je čitao, često radeći direktno iz struktura u ravni i projektivne geometrije, pa sve do najuspelijeg zahvata “suštine” neeuklidske geometrije kakav se primećuje, na primer, u “Kružnom limitu IV” (Slika 7 – obratiti pažnju da se figure pri kretanju ka obodu umanjuju do infinitezimalnih razmera, a ponavljaju se u idealnom slučaju beskonačno mnogo puta!).

Slika 8. “Relativnost” (1953) – često reprodukovana ilustracija neintuitivnog odsustva preferiranog pravca u prostoru
Slika 8. “Relativnost” (1953) – često reprodukovana ilustracija neintuitivnog odsustva preferiranog pravca u prostoru

Takođe je bio fasciniran paradoksima i “nemogućim” objektima, kao što su Penrouzove stepenice kojima se može istovremeno beskonačno uspinjati i spuštati (Slika 8). Na taj način, Esherov rad obuhvata dve široke oblasti: geometriju prostora i ono što bismo mogli nazvati logikom prostora; obe su u najtešnjoj vezi sa kosmologijom. Jedna od stvari koje nas kosmologija uči jeste da se svemir širi, a to je širenje opisano linearnim (barem na kosmološki malim i srednjim skalama) Hablovim zakonom.

Ima li bolje predstave širećeg prostora od zamišljanja Esherove “Kubne podele prostora” (Slika 6) i zamišljanja da se svaka od šipki koja sačinjava rešetku istovremeno produžava konstantnom stopom?

Zamislimo da su čvorišta u kojima se šipke stiču galaksije i da se mi nalazimo na jednoj od njih. Ako posmatramo okolne galaksije, videli bismo da se naši najbliži susedi udaljavaju od nas nekom brzinom V (zbog istezanja šipke između nas i njih), dok bi se drugi po redu susedi udaljavali od nas brzinom 2V (zbog istezanja dveju šipki). Uglavnom, susedi udaljenosti N bi se od nas udaljavali brzinom NV, odnosno na taj način bismo izveli linearnu relaciju udaljenosti i brzine – upravo Hablov zakon!

Slika 9. “Galerija grafika” (1956), verovatno vrhunac Esherovog opsesivnog tretmana teme samo-referencije
Slika 9. “Galerija grafika” (1956), verovatno vrhunac Esherovog opsesivnog tretmana teme samo-referencije

Verovatno najkompleksnija Esherova obrada večne (još od Epimenida Krićanina!) teme samo-referencije jeste njegova maestralna “Galerija grafika” (Slika 9). Ova čudesna petlja koju detaljno razmatra Hofštater u Gedel, Esher, Bah, nazivajući je likovnom parabolom Gedelove teoreme o nekompletnosti matematike, može se posmatrati i kao metafora kosmosa koji nastanjujemo.

Za razliku od nas kao posmatrača slike (koji se po definiciji nalazi izvan sistema), u kosmologiji mi smo upravo u dvosmislenoj ulozi Esherovog mladića u galeriji: deo smo celine koju posmatramo i svojstva te celine i naša svojstva moraju biti usaglašena.

Ovaj zahtev za samousaglašenošću kosmosa centralni je element antropičkog načela – a samousaglašenost se manifestuje kroz refleksivni deo celine, odnosno kroz inteligentne posmatrače poput nas.

U centru grafike imamo “nedodirljivu” tačku – pravu singularnost! Zanimljivo je da je nedavno, korišćenjem savremenih kompleksnih mapiranja, eliptičkih funkcija i računarskih modela, pokazano kako bi se “Galerija grafika” morala dopuniti ako bi se hteli dalje približiti singularitetu; naime, u beloj mrlji morala bi se nalaziti kopija čitave grafike zarotirana za ni manje ni više nego 157.6255960832... stepeni i umanjena za faktor od 22.5836845286... puta (de Smit et al. 2003)!

Beskonačno, kako jeste

Slika 10. “Tetraedarski asteroid” (1954), jedna od nekoliko Esherovih grafika koje se mogu smatrati umetničkom vizijom budućeg astro-inženjeringa
Slika 10. “Tetraedarski asteroid” (1954), jedna od nekoliko Esherovih grafika koje se mogu smatrati umetničkom vizijom budućeg astro-inženjeringa

Esherov čudesni svet predstavlja vrhunski primer produktivne interakcije naučnog i umetničkog duha u zajedničkom poduhvatu kreiranja autentičnih stvaralačkih vrednosti.

Esher se pojavljuje kao dubok mislilac, sličan Leonardu ili Direru, čije grafike ne uzrokuju samo osećaj fascinacije i divljenja, već i provociraju našu inteligenciju da otkrije dalje i dublje veze od puke teme umetničkog dela i znanja umetnika, kroz brižljive i detaljne predstave simetrije, paradoksa, dualnosti, harmonije, proporcije i beskonačnosti.

Istovremeno, on nas podseća da ni u nauci, baš kao ni u umetnosti, izvori inspiracije često nisu očigledni, a posebno ne racionalno objašnjivi. Kao što je Vilijem Blejk odavno zapisao: “Kad bi vrata percepcije bila očišćena, sve bi ljudima izgledalo kako i jeste – beskonačno...”

Izbor iz literature

Slika 11. “Koncentrične kore”(1953) – Dajsonova sfera u izgradnji?
Slika 11. “Koncentrične kore”(1953) – Dajsonova sfera u izgradnji?

Esher, M. K. 2004, Istraživanje beskonačnosti (izbor i prevod B. Jović, Esotheria, Beograd).

Locher, J. L., et al. 1992, Escher: The Complete Graphic Work (Thames & Hudson, London).

Penrouz, R. 2004, Carev novi um (Informatika, Beograd).

de Smit et al. 2003, “Artful Mathematics: The Heritage of M. C. Escher”, Notices of the AMS 50, 446-457.