Život kao igra

Tvorac igre, jedna od glavnih zvezda Teorije brojeva, brilijantni Džon Konvej, nije imao nikakvih ambicija da imitira život. Naime, njegova namera bila je daleko od matematičke igre – pokušao je da stvori univerzalni sistem, odnosno univerzalnu Tjuringovu mašinu, što možemo zamisliti kao samoprogramirajući kompjuter koji će beskonačno dugo da radi. Konvej je bio inspirisan radom fon Nojmana, pionira iz oblasti ćelijskih automata, koji je pedesetih godina uspeo da definiše jedan univerzalni sistem, upravo pomoću ćelijskog automata u dvodimenzionalnoj ravni, gde stanje ćelija u trenutku t+1 zavisi samo od stanja komšijskih ćelija u trenutku t.

Međutim, nevolja je bila u tome što taj sistem nije bio baš najelegantnije realizovan. Šta više, bio je nepodnošljivo nezgrapan, sa svojih čak 29 stanja. Kako fon Nojmanov pronalazak objašnjava sam Konvej: «Ako je želeo da realizuje određenu osobinu, kao na primer mogućnost razmene poruka, dodao bi još nekoliko stanja i dobio bi je. Kada bi poželeo drugu osobinu, dodao bi još nekoliko stanja... i tako ih je na kraju bilo 29. I kad onda uzmete da čitate dodatak njegovog rada, vidite jednu jako dugačku listu tabela koje opisuju funkcije prelaska... Kakav haos!».

Dakle, Konvej je težio ka «spektakularno jednostavnom» univerzalnom sistemu. Upravo suprotno od Fon Nojmanovog pristupa - eksplicitnog forsiranja sistema da se ponaša na željeni način - verovao je da je bolje izabrati neki sistem sa prikladnim ponašanjem, za koji postoji osnovana mogućnost da postane univerzalan, i onda pustiti sistem da živi; a vremenom se može naučiti kako se sistem programira i kako ga naterati da obavlja arbitrarne proračune – što je uslov da bi postao univerzalna Tjuringova mašina. «Na primer, uzmimo mnogo nekih elektronskih uređaja i povežimo ih na slučajan način u jednom skladištu.

Tako ćete verovatno dobiti jedan univerzalni sistem. Stisnete neko dugme i vidite da se pali crvna lampica. Malo razmišljate, malo pokušavate, i ubrzo ćete razumeti kako određene akcije imaju određene rezultate... I uskoto ćete uspeti da pronađete način da saberete dva broja. Pritisnete jedno dugme 5 puta, onda uradite nešto drugo, pa opet pritisnete dugme još 8 puta, i na nekom izlazu dobijete 13. I ako je soba dovoljno velika, i ponašanje mašina dovoljno zanimljivo, postepeno ćete učiti da naterate sistem da radi šta god poželite. I to je sjajno. Pitanje je, koliko malo može da bude skladište, koliko jednostavno možete da napravite veze između mašina...», Konvej slikovito predstavlja svoju ideju.

Međutim, Život nije ispao tako jednostavan kao što je Konvej zamišljao, ali bila je to, kako kaže, «prijatna propast». Da bi nam to bilo jasnije, pogledajmo konačno pravila ove igre:

Slikovito predstavljen æelijski automat – Konvejevo skladište

PRAVILA IGRE Život se igra na beskonačnoj kvadratnoj tabli, čija polja – ćelije, mogu biti žive (zauzeta polja) ili mrtve (prazna polja). Nema igrača, pa samim tim niko ne pobeđuje i niko ne gubi. Zadaje se inicijalni raspored živih ćelija, a igra napreduje kroz generacije ćelija, kako se primenjuju sledeća pravila života i smrti: · Ćelija preživljava do iduće generacije ako ima dve ili tri komšijske ćelije. · Ćelija umire u idućoj generaciji ako ima četiri ili više suseda (prenaseljavanje) ili ako je ostala sa samo jednim susedom (usamljenost). · Mrtva ćelija oživljava u sledećoj generaciji ako dobije tačno tri suseda (rođenje).

Ironično, s jedne strane se fon Nojmanov automat može smatrati jednostavnijim jer stanje ćelije zavisi od četiri suseda, a ne od osam, kao u Životu. Kako je Konvej tragao za sistemom koji je «zapanjujuće jednostavan», želeo je da umanji kompleksnost time što bi rešenje radilo u jednoj dimenziji, za razliku od Fon Nojmanove ideje o dvodimenzionalnoj ravni, gde se u trenutku t vodi računa o poziciji (x,y). Međutim, to se posle mnogih pokušaja ispostavilo nemogućim, te je od toga Konvej naposletku odustao.

Sledeći težak korak bio je odabir prikladnog dvodimenzionalnog sistema za proučavanje. Problem je u tome što su takvi sistemi beskonačne prirode, a analiza zahteva jedan ograničeni deo ravni. Konvej i njegovi saradnici su za svoj objekat istraživanja uzeli tablu za igru Go. Zanimljivo je da je paralelno sa radom na Životu, Go inspirisao Konveja na, po njegovim rečima, «otkriće na koje je najponosniji» - nadrealne brojeve; koji su izazvali pravu revoluciju u matematici (Donald Knut ih sjajno uvodi u eseju Surreal Numbers : How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness).

Ali vratimo se sada ovoj priči. Da populacije ne bi «eksplodirale», jasno, bilo je potrebno izmisliti neko pravilo smrti. Slično, i jednako važno, da bi populacija nastavila da živi kroz generacije, izmišljeno je pravilo rođenja. «Probali smo razna pravila, proučavali njihove efekte i posmatrali šta će da se desi. Pitanje se samo nametnulo, kako da postavimo relativni odnos snaga između rođenja i smrti, tako da za tipičnu populaciju postoji dobra verovatnoća da neće izumreti niti se linearno širiti.» Odnosno, da bude dovoljno interesantan da izraste u univerzalni sistem, a i dovoljno stabilan da nastavi da živi.

Posle dve godine napornih pauza za kafu, dali su oglas

Posle dve godine napornih pauza za kafu, Konvej i njegov tim konačno su došli do goreopisanog skupa pravila. To su shvatili kada su primetili da neke populacije vremenom obrazuju takozvane «klizače», odnosno entitete koji kroz svoju evoluciju kroz generacije «šetaju» po čitavoj ravni. Ovo je bio prvi znak uspeha i veliko ohrabrenje, jer da bi se napravio univerzalni sistem, tj. da bi se omogućili arbitrarni proračuni potrebno je obezbediti razmenu informacije preko ravni, a «klizači» su im upravo to pružili. «Kada su se pojavile ove strukture, odmah smo prestali da eksperimentišemo sa ostalim pravilima, jer je postalo jasno da je to ono što smo čekali. Ponašalo se baš onako kako smo želeli, i seli smo da dokazujemo da radi», kaže Konvej.

Za samo nekoliko nedelja, tim je napravio skoro sve konfiguracije koje bi omogućile arbitrarne proračune: AND, OR i sve ostale logičke komponente koje imaju računari; međutim, nikako nisu mogli da nađu rešenje za inicijalni skup «klizača», tzv. «pištolj», koji bi sve pokrenuo na odgovarajući način, kao dugme za paljenje, i potom nastavio kontrolisano beskonačno da se razmnožava. «Rešio sam da dam oglas», priča kasnije Konvej.

Obratio se svom prijatelju Martinu Gardneru, predlažući Život za njegovu kolumnu o Matematičkim igrama u časopisu Scientific American, i nagradu od $50 za onoga ko uspe da napravi «pištolj». To je bilo u aprilu 1970. godine, a članak se pojavio u broju 223 pod naslovom «The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game Life».

Gosperov «pištolj»

Vest je odjeknula i pobudila maštu naučne zajednice, i ubrzo potom grupa sa MIT-a, predvođena Bilom Gosperom nalazi rešenje. Samo dve nedelje kasnije Konvej i njegov tim i grupa sa MIT-a dokazuju da sa određenom postavkom ćelija Život radi kao univerzalna Tjuringova mašina. Pobeda!

Vojska se ljuti, a svet se zabavlja

Još od svog prvog pojavljivanja u Gardnerovoj kolumni, Život je izazvao veliko interesovanje javnosti. Način na koji Život imitira život, iako mu to nije bio cilj, zaintrigirao je mnoge.

Već iste godine igra je prvi put programirana, za računar PDP-7. Američka vojska je u jednom trenutku negodovala zbog količine kompjuterskih resursa koji se «troše uzalud» gledanjem ove igre. A Život se i danas igra. Na Internetu se može pronaći na hiljade freesoftware programa koji nam nude Život kao zabavu; neki od najpoznatijih su Golly, Life32, Xlife, koji podržavaju neke od brojnih algoritama dizajniranih za ovu igru (kao što je npr. Hashlife). Za unutrašnju reprezentaciju ćelija najčešće se koriste egzotične strukture podataka poput dinamičnih torusnih nizova – jer kompjuter je sa svojom memorijom konačan, a igra je beskonačna.

«Klovn», nastaje posle 110 iteracija nad oblikom obrnutog slova U od 7 æelija

Život je inspirisao ljude da naprave i neke nove matematičke igre, kao što je na primer ova: Igraju dva igrača i svaki od njih ima svoju boju. Igra se na tabli, kao za Život (samo što je u ovom slučaju to neosporno konačna ravan). Žive ćelije su u boji, i na početku se ravnomerno rasporedi broj živih ćelija za svakog igrača po slučajnom paternu.

Potez se sastoji iz toga što igrač stavlja jednu svoju živu, i ubija jednu protivničku ćeliju. Ćelija oživljava kada ima tačno tri suseda, a biće one boje koja među tim susedima preovlađuje. Igrač pobeđuje kada izumru sve protivničke ćelije.