Fraktalna dimenzija

U nauci, termin dimenzija je do početka prošlog veka obitavao kroz dva značenja. Prvo je vezano za broj realnih brojeva (ponekad i kakvih drugih) koji je potreban da se jednoznačno odredi vektor u nekom prostoru. Za naš prostor taj broj je 3 i zato kažemo da živimo u trodimenzionalnom svetu. Drugo značenje vezano je za broj promenljivih (npr. brzina i položaja) koji se koristi u opisu nekog dinamičkog sistema. Primera radi, da bismo opisali voz koji se kreće po šinama dovoljno je da u svakom trenutku znamo njegov položaj i brzinu, dakle taj sistem je dvodimenzionalan. Primećujemo da u oba slučaja dimenzija mora biti prirodan broj. Pojava novih geometrijskih objekata zahtevala je uvođenje i trećeg značenja, što je uradio Hauzdorf 1919. godine. Ako neku kocku povećamo 2 puta njena zapremina se poveća 8 puta. Ako je pak povećamo 3 puta njena zapremina se poveća 27 puta. Dakle, zapremina kocke povećava se sa kubom uvećanja njenih linearnih dimenzija. Na slici 1 ilustrovano je šta se dešava sa duži i kvadratom kada se povećavaju njihove linearne dimenzije. Vidimo da važi formula data ispod slike M=mL^D, gde M predstavlja meru uvećanog tela (dužinu, površinu ili zapreminu), m meru tela pre uvećanja, L linearno uvećanje, a D dimenziju (duž - 1, kvadrat – 2, kocka -3). Napomena: iz tehničkih razloga u prethodnoj formuli kao i u nastavku teksta stepenovanje je označeno sa znakom "^" (npr. deset na kvadrat pišemo kao 10^2).

Slika 1. Dužina duži raste linearno sa njenom velièinom, površina kao kvadrat, a zapremina kao kub.

Sada razmotrimo objekat koji se dobija procedurom prikazanom na slici 2. Krećemo od duži kojoj u sledećem koraku oduzimamo srednju trećinu i dodajemo druge dve ivice jednakostraničnog trougla konstruisanog nad njom. U svakom sledećem koraku ponavljamo proceduru sa svakom od novonastalih duži. Telo koje se dobija nakon beskonačnog broja koraka prikazano je na slici 3 i zove se Kohova pahuljica. Možda vam na prvi pogled ne liči na pahuljicu, no ako zamislite tri takva objekta poređana u krug stvar se drastično menja. Ipak pod terminom Kohova pahuljica, u daljem tekstu, podrazumevaćemo objekat sa slike 3.

Slika 2. Raðanje Kohove pahuljice.

Sada označimo meru jedne četvrtine Kohove pahuljice sa m, a cele pahuljice sa M. Šta god ta mera bila, od nje logično očekujemo da je aditivna tj. da je mera više objekata jednaka zbiru mera pojedinačnih objekata. Ovo očekivanje posledica je empirijskog iskustva koje smo stekli baratajući sa dužinom, površinom i zapreminom (npr. dva kanapa iste dužine, spojeni daju duplo duži kanap).

Pošto se velika Kohova pahuljica sastoji od 4 male (označene brojevima na slici 3) važi M=4m. S druge strane velika pahuljica tri puta je veća od male (jer je konstruisana na 3 puta većoj duži) pa bi trebalo da važi formula sa slike 1 odnosno M=m3^D. Ako iskoristimo prethodne dve formule, dobijemo m3^D=4m, odakle sledi jednakost 3^D=4. No, da vidimo koja to dimenzija D zadovoljava ovu jednakost. Za D=1 leva strana je 3 i manja je od desne, a za D=2 dobijamo 9 pa je leva strana veća od desne.

Da bi leva i desna strana bile jednake, ne treba nam veliko znanje matematike da bismo zaključili da je D pahuljice negde između jedan i dva, a viša matematika nam kaže da je rešenje ove jednačine D= ln 4 / ln 3 = 1.261...

Slika 3. Kohova pahuljica.

Dakle, koliko god čudno zvučalo dimenzija ovog objekta nije celobrojna. Pošto je dimenzija između jedan i dva, pahuljica nema ni dužinu ni površinu (dužina je beskonačna, a površina je nula). Neko može zameriti što je u računu korišćena mera koja nije definisana, a uzeto je da poseduje dve gore upotrebljene osobine.

Hauzdorf je to zaobišao uvodeći jednu formalnu definiciju dimenzije koja daje isti ovaj rezultat, a čija formalnost prevazilazi strpljenje čitalaca i stoga je sada nećemo pominjati. Važan je samo zaključak da se za ovakve samoslične objekte fraktalna dimenzija može računati i na ovaj neformalan način. Ovim definišemo fraktalnu dimenziju kao eksponent koji diktira koliko se povećava mera objekta u zavisnosti od njegovog linearnog uvećanja.

Slika 4. Levo trougao Sjerpinskog, desno model trougla Sjerpinskog napravljen od konzervi.

Sad kad smo konstruisali Kohovu pahuljicu, pred sobom imamo izvrstan primerak fraktala. Grubo rečeno, fraktali su samoslični objekti, tj. objekti čije delove nekim transformacijama možemo preslikati u ceo objekat (kao što kod Kohove pahuljice uočavamo 4 dela slična celoj pahuljici). Drugi lep primer fraktala prikazan je na slici 4. Dobija se tako što se krene od punog trougla kome se "iseče" središnji trougao (trougao čija su temena centri strana početnog).

Zatim se ova procedura nastavi sa novodobijena tri trougla, a zatim sa novodobijenih devet i tako dalje u beskonačnost. Ono što ostane nakon ovog sečenja jeste skup tačaka koji formalno nema ni dužinu ni površinu, a poznat je pod imenom trougao Sjerpinskog. Da bismo izračunali njegovu fraktalnu dimenziju primetimo da je veliki trougao sastavljen od tri slična manja, a da je ovaj od njih duplo veći. Time dobijamo 2^D=3 ili D= ln 3 / ln 2 = 1.585...

Iako sve ovo odudara od iskustva svakodnevnog sveta, sad već intuitivno razumemo pravila ovog apstraktnog. Videli smo da ukoliko krenemo od duži (čija je dimenzija 1) a zatim tu duž po nekom pravilu povećavamo iz koraka u korak, možemo da u "beskonačno mnogo koraka" stignemo do objekta koji ima dimenziju veću od jedan. Takođe, ako krenemo od dvodimenzionalnog trougla koji nekako "kasapimo", korak po korak dobijamo objekat sve manje fraktalnosti. Jasno je da u ravni ne možemo dobiti objekat dimenzije veće od dimenzije cele ravni tj. dva, a u prostoru - dimenzije veće od tri.

Kompjuterski generisani fraktali

Pored već pomenutih fraktala koji se dobijaju određenim iterativnim geometrijskim pravilom postoje i mnogi drugi. Jedna klasa fraktala predstavlja granicu oblasti konvergencije nekog rekurzivno zadatog niza u kompleksnoj ravni. Većina ovih fraktala lako se kompjuterski generiše. Postoje raznorazni algoritmi za njihovo bojenje (oni su u osnovi “crno-beli” u zavisnosti od toga da li niz konvergira ili ne), vrlo često bez bitnog matematičkog smisla. Samo zahvaljujući svojoj čudnoj lepoti, našli su primenu u industrijskom dizajnu, veb dizajnu, filmskoj industriji...

Slika 5. Mandelbrotov skup u kompleksnoj ravni (oblast obojena u crno).

Sada ćemo videti kako se određenim algoritmom generiše jedan od takvih fraktala (slični algoritmi najlakše se nalaze na Internetu). Posmatrajmo, dakle, sledeći niz:
z(0)=0,
z(1)=z(0)^2+m,
z(2)=z(1)^2+m,
...
z(n)=z(n-1)^2+m,

gde je m kompleksni parametar. Skup parametara m za koje ovaj niz konvergira naziva se Mandelbrotov skup (slika 5). Njegova granica je fraktalna sa Hauzdorfovom dimenzijom dva. Ovo je jedan od primera da nešto što nam na prvi pogled izgleda kao neka linija (formalno gledano skup tačaka koji se dobija neprekidnim preslikavanjem iz skupa realnih brojeva) ima dimenziju tačno dva.

Slika 6. Još jedan kompjuterski generisan fraktal.

Koliko god nam je na početku bilo čudno da neki objekti imaju necelobrojnu dimenziju, sad bi trebalo da nas čudi otkud sad celobrojna fraktalna dimenzija? Odgovor je: skoro čista slučajnost! Ovo je ujedno i maksimalna dimenzija objekta smeštenog u ravan. Ukoliko neko želi, lako može da napiše algoritam za kompjuterski program koji crta Mandelbrotov skup. Algoritam je sledeći:

1. za svaku tačku na ekranu izračunamo m=x+yi (uzimajući za granice ekrana unapred određen opseg)
2. generišemo članove niza z(n)
3. ukoliko je poslednji element niza izašao iz nekog unapred određenog kruga (npr. |z(n)|<10) tu tačku bojimo u crno, u suprotnom bojimo je u belo. Ako hoćete da uključite i druge boje, možete da tačku bojite u zavisnosti u kojoj iteraciji je niz “pobegao” iz zadatog kruga.

Fraktali u prirodi

Sve ovo što smo do sad videli jesu lepi apstraktni matematički objekti i šarene slike. Da li postoje fraktali u prirodi? Ukoliko ste ikada videli drvo, držali u ruci pahuljicu, gužvali novine, gledali oblake, skupljali školjke i puževe, udisali vazduh i mirisali jorgovan niste daleko od odgovora. Upravo sve nabrojano poseduje fraktalnu strukturu. Na slici 7 možete videti matematički analogon paprati i drveta. Drvo raste tako što grana ispusti pupoljke iz kojih izrastu nove grane. Ove nove grane ponašaju se identično kao i ona od koje su nastale, samo što su manje. I to je to, sačekate koju godinu i imate drvo. Lepota kompleksne strukture drveta upravo se sastoji u jednostavnosti pravila kojima je napravljeno. A zar nije tako i sa svim ostalim?

Slika 7. Paprat i drvo.

Odrastao čovek nakon svog rođenja poraste oko 3 puta. To znači da se njegova telesna masa (u idealnom slučaju) poveća oko 27 puta (tri na treći) i logično je da mu je potrebno otprilike toliko puta više kiseonika nego kada je bio mali. Međutim, vazduh u plućima apsorbuje se na površini koja je u tom slučaju porasla 9 puta (tri na kvadrat) - čak četiri puta manje nego što je to potrebno.

Priroda je rešenje za ovaj problem našla u “povećanju” fraktalne dimenzije površine pluća sa dva na ekstremnih 2.9 (slika 8) čime se apsorpcija kiseonika u našem primeru poveća sa 9 na oko 24 puta (3^2.9=24.19...). Ovo je samo jedan od primera gde se fraktalnost u živom svetu javlja kao rešenje optimizacije nekih funkcija organizma. Veličina lobanje ograničava zapreminu mozga, a on teži da poveća površinu, te zato poprima takvu strukturu. Krvni sudovi u organizmu isto predstavljaju jedan od primera fraktala.

Slika 8. Pluæa.

Prilikom nastanka snežne pahuljice površinski napon teži da smanji površinu i napravi sferni oblik, dok ga sama kristalizacija ometa u tome težeći da postavi molekule vode u tačno određene međusobne položaje. Borba ovih dveju sila za posledicu ima tako kompleksnu strukturu pahuljice. U skoro svakoj grani moderne fizike javljaju se objekti koji imaju fraktalnu strukturu (bilo u realnom prostoru, bilo na nekom apstraktnijem nivou). Samosličnost kao njihova osobina pomaže fizičarima da ih proučavaju tako što im poznavanje osobina jednog dela sistema daje sliku o celom sistemu ukoliko utvrde kako se osobine menjaju skaliranjem.

Petnička piramida

Pre par dana u Istraživačkoj stanici Petnica polaznici seminara koji su tada bili u toku bili su tvorci realnog modela jednog od objekata fraktalne dimenzije jednake "okruglo" dva. Hajde da se prvo upoznamo s ovim objektom. Posmatrajmo jedan pravilni tetraedar iz kog je isečen središnji oktaedar tako da na kraju ostanu četiri duplo manja tetraedra koja ga grade. Ukoliko ovo ponovimo sa svakim od tih novonastalih tetraedara, a zatim nastavimo proceduru sa novonastalima u beskonačnost dobićemo objekat ilustrovan na slici 9.

Slika 9. Tetraedar Sjerpinskog.

Da vidimo kolika je dimenzija ovog objekta. Koristeći se procedurom s početka članka, vidimo da je veliki tetraedar sastavljen od četiri mala, a i da je veliki duplo veći od malog, te dobijamo jednakost 2^D=4, odakle je i na prste jasno da je D=2. Opet "koincidencijom" u moru kontinuuma nabasasmo na ceo broj, baš kao kod Mandelbrota.

Model ovog objekta koji je pravljen u Petnici konstruisan je od slamčica za piće iz Mekdonaldsa (ovim putem im zahvaljujemo) tako što su početni elementarni tetraedri dobijeni spajanjem šest slamčica pomoću četiri parčeta kanapa koji se provlači kroz sve ivice svake strane tetraedra, te tako kroz svaku slamku prolaze po dva kanapa. "Topološkom srećom" moguće je tako provlačiti kanap da čvorovi sa viškom kanapa budu vezani na različitim temenima. Ovo se kasnije pokazalo kao korisno prilikom daljeg vezivanja. Pojašnjenje ovog algoritma nalazi se na slici 10. Nakon pravljenja elementarnih tetraedara prave se sve složeniji i složeniji tako što se od četiri tetraedra iz prethodnog koraka pravi duplo veći vezivanjem kanapa na šest mesta.

Slika 10. Kako se pravi elementarni tetraedar od slamki.

U samoj akciji pravljenja ovog modela sada poznatog pod imenom "Petnička piramida" učestvovalo je oko 30 polaznika kojima nije trebalo više od dvadeset aktivnih sati da naprave piramidu. Glavna prednost ovog modela leži baš u tome što je njegova dimenzija veom mala, čak najmanja za trodimenzionalne samostojeće objekte. I samo skaliranje broja gradivnih elemenata kao i utrošenog rada time je mnogo manje nego što je to slučaj sa trodimenzoinalnim objektima. Mana ovog modela je što se u bilo kom koraku gornja četvrtina objekta oslanja na samo devet slamki. Ovo nameće granicu dokle se može ići u konstrukciji većeg i većeg objekta, ali isto tako budi prirodnu znatiželju da se vidi gde je ta granica.

Slika 11. Piramida u Petnici.

Entuzijazam mladih ljudi koji su učestvovali u pravljenju piramide bio je presudan za ovaj uspeh. Koliko nam je poznato, do sada je postojao samo jedan bezuspešan pokušaj da se sličan poduhvat izvede, što čini "Petničku piramidu" najvećim modelom 3D tetraedra Sjerpinskog na svetu.

Na slikama možete videti kako je finalna piramida izgledala, a tehnički detalji slede. BROJ ELEMENTARNIH TETRAEDARA: 1024 BROJ SLAMKI: 6144 DUŽINA KANAPA: cca. 4km DUŽINA IVICE: 6.4m VISINA: 5.2m APROKSIMATIVNA MASA: 4kg FRAKTALNA DIMENZIJA: 2 SPONZOR SLAMKI: Mekdonalds FACEBOOK GRUPA: Petnička piramida / Pyramid of Petnica