- Nauka -

Matematika iza hemije

Hemijska teorija grafova predstavlja granu matematike kojom se modeliraju molekuli u cilju sticanja uvida u fizičke, hemijske i biološke osobine jedinjenja i njihove što bolje aproksimacije. Ona predstavlja početak jednog divnog prijateljstva između hemije i matematike.

A. Ilić A. Đorđievska Izvor:
Podeli

Poznato je da je broj mogućih hemijskih jedinjenja toliko veliki da je nemoguće zamisliti da će ikada sva biti sintetisana i ispitana. Do sada je potpuno identifikovano i registrovano preko 128 miliona hemijskih jedinjenja, a svakog dana se dodaje oko 12 hiljada novih. S obzirom na poznate hemijske zakone koji određuju hemijsku strukturu, odnosno pravila prema kojima se atomi udružuju gradeći molekule, mogu se predvideti sve moguće strukture molekula. Međutim, ovde nailazimo na problem, jer je broj mogućih hemijskih jedinjenja enorman.

Primera radi, različitih izomera alkana ima 62 481 801 147 341. Ako pretpostavimo da je potreban samo jedan minut za ispitivanje neke osobine hemijskog jedinjenja, dobijamo da je za ispitivanje svih ovih izomera potrebno oko 120 miliona godina (što je približno redu veličine starosti naše planete).

Stoga se može reći da je jedan od glavnih zadataka danas da se iz tog mnoštva što bolje odaberu i sintetišu jedinjenja za koja se, na osnovu hemijske strukture, na određeni način predviđa tj. procenjuje da će imati unapred zadate fizičko-hemijske osobine i biološku aktivnost. Sa druge strane, ako se radi o novom izolovanom jedinjenju, zadatak je brzo i efikasno odrediti njegove osobine, što je posebno značajno kod izdvajanja i klasifikacije molekula sa potencijalnim farmakološkim ili toksikološkim dejstvom. Tu hemiji u pomoć priskače matematika, ili da se izrazimo kampanjskim sloganom: Kada je teško – matematika.

Poznato je da od strukture molekula zavise fizičke osobine (boja, gustina, tačka topljenja...), hemijska reaktivnost i biološka aktivnost jedinjenja, kao i da se slična jedinjenja slično ponašaju. Uz pomoć molekulskih deskriptora i odgovarajućih matematičkih modela moguće je na osnovu molekulske strukture predvideti određene osobine molekula.

Molekulski deskriptori su parametri koji predstavljaju numeričke vrednosti odgovarajućih karakteristika hemijskih jedinjenja. Prema definiciji, oni su konačni rezultat logičkog i matematičkog postupka koji pretvara hemijsku informaciju sadržanu u simboličkom predstavljanju molekula u numeričku vrednost ili su rezultat nekog standardizovanog eksperimenta. Jednostavnije rečeno, do numeričke vrednosti molekulskog deskriptora se može doći računski (primenom nekog matematičkog algoritma) ili eksperimentalnim putem. Oni se razlikuju po složenosti informacija koje u sebi nose, a time i po vremenu izračunavanja. Što je veća složenost sistema i problema koji se proučavaju, to je veći i broj molekulskih deskriptora koji je potrebno koristiti za izražavanje posmatrane osobine.

Kako bi se dobile zadovoljavajuće i smisaone korelacije, veoma je važan izbor molekulskih deskriptora koji će se koristiti, jer oni postaju jedan od najvažnijih parametara u formiranju modela. U osnovi svakog matematičkog modela koji povezuje karakteristike molekula sa molekulskim deskriptorima je empirijska matematička funkcija koja treba da je takva da uz pomoć molekulskih deskriptora, u što je moguće većoj meri, precizira ispitivanu karakteristiku. Matematički model koji ima za cilj da povezuje hemijsku strukturu i aktivnost molekula skraćeno se obeležava sa QSAR (eng. Quantitative Structure Activity Relationship), a model koji povezuje hemijsku strukturu i fizičko-hemijske osobine molekula sa QSPR (eng. Quantitative Structure Property Relationship). Ova veza je prikazana na slici 1.

Na opisani način se u velikoj meri mogu izbeći zametne sinteze, složena i skupa ispitivanja i eksperimentalna merenja i uštedeti dragoceno vreme (što je od neprocenjivog značaja, na primer, u farmaceutskoj industriji pri otkriću nove supstance – potencijalnog leka). Na primer, cilj QSAR analize u farmaceutskoj hemiji obuhvata razumevanje odnosa između strukture, osobina i dejstva lekova, dizajniranje lekova sa poboljšanim osobinama i predviđanje osobina molekula pre sinteze. Ukratko, ovaj proces možemo opisati kao filtriranje sa određenim nivom poverenja.

Pređimo sada sa ove uvodne priče na konkretane primere. U daljem tekstu proučavaćemo alkane i kroz njih ćemo vam pokazati neke od prelepih primena teorije grafova u hemiji. Alakni (poznati i kao parafini) su zasićeni ugljovodonici, tj. organska jedinjenja koja sadrže samo atome ugljenika i vodonika bez višestrukih veza. Predstavljaju aciklične ugljovodonike, tj. imaju linijsku (razgranatu ili nerazgranatu) strukturu ugljenikovih atoma koja ne sadrži cikluse.

Pored ovoga igraćemo se i sa strukturnim izomerima alkana. Izomeri su molekuli koji imaju istu molekulsku formulu (identični atomski sastav i molekulsku masu) a različite osobine. Mogu biti strukturni (konstitucioni) izomeri ako imaju različitu strukturnu formulu, odnosno ako su atomi u molekulu na različit način međusobno povezani, ili stereoizomeri (prostorni izomeri) ukoliko su atomi u molekulu povezani na isti način ali je njihov relativni položaj u prostoru različit.

Strukturu alkana možemo modelirati pomoću molekulskog grafa. Naime, svaki ugljenikov i vodonikov atom posmatraćemo kao čvor grafa, a dva čvora ćemo povezati ukoliko su odgovarajući atomi povezani u molekulu. Molekulski graf ćemo označiti sa G, a broj čvorova u njemu sa N. Primetimo da je N jednak zbiru broja ugljenikovih i vodonikovih atoma. Označimo skup čvorova sa V, a skup ivica (veza) u tom grafu sa E.

Iz hemije je poznato da je opšta formula alkana

Ovu formulu možemo interpretirati kao: u svakom molekulu alkana sa n atoma ugljenika postoji tačno 2n + 2 atoma vodonika. Ovde nailazimo na činjenicu da ovo važi za sve izomere datog alkana, tj. da broj atoma vodonika ne zavisi od strukture molekula odnosno molekulskog grafa. Pitanje koje se ovde nameće jeste: zašto ovo važi za sve izomere alkana? Da bi mogli da odgovorimo na ovo pitanje uskačemo u matematičke vode.

Napomenuli smo da su alkani aciklična jedinjenja. Ovu činjenicu prevodimo u odgovarajuću (izomorfnu) osobinu molekulskog grafa: molekulski graf ne sadrži cikluse. Grafovi koji su povezani (iz svakog čvora se može stići u svaki drugi čvor preko ivica grafa) i aciklični nazivaju se stablima. Sa tačke gledišta teorije grafova, stabla su grafovi sa najjednostavnijom strukturom.

Stepen čvora, u oznaci deg(v), označava broj veza koje polaze iz tog čvora, odnosno broj čvorova sa kojima je on povezan. Ovo je ekvivalentno valenci atoma u molekulu (sa koliko atoma vodonika može neki hemijski element da nagradi vezu: valenca vodonika je I, a ugljenika IV u organskim jedinjenjima). Čvorovi koji imaju stepen 1 se nazivaju listovima. U našem slučaju listove čine čvorovi koji odgovaraju atomima vodonika. Stabla imaju jednu jako lepo osobinu koja ih jednoznačno karakteriše, a to je da je broj ivica u stablu jednak broju čvorova umanjenom za 1. Formalnije ovo možemo napisati kao: |E|=|V| - 1. Dokaz ove činjenice se izvodi matematičkom indukcijom, ali to ovde nećemo izložiti.

Pretpostavimo da je formula alkana sa ugljenikovih atoma oblika

i pokušajmo da dokažemo da je m = 2n + 2. Pošto je molekulski graf alkana stablo, imamo da je |E| = n + m - 1. Da li broj ivica u stablu možemo dobiti i na neki drugi način? Ukoliko bi sabrali stepene svih čvorova u stablu, svaku ivicu bi posmatrali dva puta – za svaki njen kraj po jednom. Odavde imamo da je 2|E| = deg(v[1]) + ... + deg(v[n+m]). U grafu imamo n ugljenikovih atoma koji imaju stepen 4 tj. valencu IV, i m atoma vodonika koji imaju stepen 1, tj. valencu I.

Dakle, gornja suma sadrži n + m sabiraka od kojih n ima vrednost 4 i m sabiraka vrednost 1, drugim rečima imamo da je 2|E| = 4n + m. Ukoliko povežemo ovo sa prvom formulom za broj ivica dobijamo da je |E| = n + m – 1 = (4n + m)/2. Nakon sredjivanja ove jednačine dobija se traženo rešenje: m = 2n + 2. Dokaz ove formule je prvi izveo britanski matematičar Vilijam Kliford (tačnije ona je bila posledica uopštenijeg rezultata). Ovo se smatra prvim rezultatom hemijske teorije grafova i predstavlja početak divnog prijateljstva između hemije i matematike.

Vezu između strukturne formule i grafova prvi je uočio britanski matematičar Artur Kejli. On je uveo definiciju molekulskog grafa (budući da tada reč “graf“ još nije postojala) . Prvi rad na temu hemijske teorije grafova bio je Kejlijev rad “O matematičkoj teoriji izomera” objavljen 1874. godine. Kejlijev rad, koji je postavio kamen temeljac ove naučne discipline, bavi se problemom prebrojavanja izomera alkana. Nažalost, ovo se pokazalo kao suviše tvrd orah za matematiku tog veka.

Problem koje je razmatrao Kejli se bavi prebrojavanjem stabala, ali sa određenim dodatnim uslovima: stablo ima 3n + 2 čvora, 2n + 2 listova, stepen unutrašnjih čvorova je jednak

jer oni predstavljaju atome ugljenika... Slabiju verziju ovog problema, a preko terminologije teorije grafova, možemo definisati kao: Za dati prirodni broj n, koliko različitih stabala postoji tako da su čvorovi numerisani brojevima od 1 do n? Odgovor na ovo pitanje predstavlja jedno od najlepših rezultata kombinatorike prebrojavanja: broj stabala sa n čvorova jednak je

U našem slučaju, broj izomera alkana sa n ugljenikovih atoma bi trebalo da je mnogo manji od gore navedenog broja, jer čvorovi u molekulskim grafovima nisu označeni različitim brojevima (možemo smatrati da su označeni samo sa dva znaka C i H). Tek 1935. godine generalno rešenje za problem prebrojavanja izomera alkana rešio je mađarski matematičar Georg Poli. Tačnije, teorema koja sada nosi njegovo ime pokazuje mnogo uopšteniji problem neizomorfnog prebrojavanja - prebrojavanje objekata za definisanu simetriju, dok se u našem slučaju ona odnosi na strukturnu simetriju.

Na početku smo pričali o molekulskim deskriptorima. Jedna klasa deskriptora obuhvata topološke indekse. Vrednosti ovih topoloških indeksa se računaju preko molekulske strukture. Ove grafovske invarijante predstavljaju numeričke karakteristike koje želimo da iskoristimo za opisivanje osobina hemijskih jedinjenja. Pod grafovskom invarijantom se podrazumeva osobina koja zavisi samo od apstraktne strukture, a ne od njegove konkrente reprezentacije. Formalnije izomorfni grafovi imaju jednake vrednosti ovih indeksa. U ovom članku ćemo opisati samo jedan njih: Vinerov indeks.

Vinerov indeks predstavlja sumu najkraćih rastojanja između svih parova čvorova grafa G. Najkraće rastojanje između dva čvora predstavlja dužinu najkraćeg broja ivica potrebnih da se od jednog čvora u grafu dodje do drugog. Formalnije imamo da je

gde smo sa dist(u,v) označili najkraće rastojanje između čvorova u i v. Kako je graf u našem slučaju stablo, može se pokazati da je zapravo najkraći put ujedno i jedini put između svaka dva čvora.

Vinerov indeks se smatra jednim od najkorišćenijih topoloških indeksa zbog jake korelacije sa mnogim fizičkim i hemijskim osobinama molekulskih jedinjenja. Ogromna većina hemijskih primena Vinerovog indeksa se bavi acikličnim grafovima (stablima). Vinerov indeks se može računati i aparatom linearne algebre (tačnije on je jednak jednoj od sopstvenih vrednosti Laplasove matrice grafa). Takođe, ovo je “globalni indeks” jer za svaki čvor posmatramo vezu sa svim ostalim čvorovima. Indeks može biti i “lokalnog karaktera” – npr. Zagreb indeks koji zavisi samo od stepena čvorova (odnosno od “bliske“ okoline).

Teško je nabrojati sve osobine koje mogu biti dovedene u vezu sa Vinerovim indeksom. Jedna od najkarakterističnijih osobina alkana koju opisuje Vinerov indeks je tačka ključanja. Ovaj rezultat je iznet i u Vinerovom radu iz 1947. u kome je i definisan sam indeks. Naime, on pri računanju tačke ključanja T, pored Vinerovog ineksa koristio još neke strukturne deskriptore. Orginalna formula glasi:

gde je n broj čvorova u grafu, W Vinerov indeks, w broj podgrafova (podstruktura) koji predstavljaju puteve dužine 3, a C konstanta.

Hemijska teorija grafova, kao što smo videli, predstavlja deo teorijske hemije koja se oslanja na matematički aparat teorije grafova. Naravno, ona nije svemoguća, ali nam može pomoći da rešimo dosta hemijskih problema ili da bolje opišemo i razumemo neku hemijsku pojavu. Gledajući iz današnjeg referentnog sistema možemo reći, a oslanjajući se na broj objavljenih naučnih radova i knjiga, da je hemijska teorija grafova u ekspanziji. Nadamo se da smo vam ovom kratkom avanturom približili matematički način razmišljanja u hemiji i da ste uživali koliko i mi.

Prati B92 na Viberu

Nauka

Konačno dešifrovano pismo staro 1.800 godina

Knjižica u kojoj je napisana poruka za nekog trgovca pronađena je još 1881. u selu Bakšali u Pakistanu. Od 1902. imali su je u muzeju, da bi tokom decenija shvatili da one stotine i stotine tačaka u tekstu označavaju broj nula.

Nauka sreda 20.09. 08:15 Komentara: 4

Bogat program za Noć istraživača u Novom Sadu

Poslednjeg petka u septembru, u više od 250 evropskih gradova, održaće se dvanaesta po redu Noć istraživača. Pre osam godina, Srbija se zahvaljujući Novom Sadu priključila najvećoj naučnoj žurci i od tada broj gradova učesnika iz naše zemlje raste, da bi ove godine čak jedanaest gradova bilo budno u Noći istraživača - Subotica, Zrenjanin, Inđija, Šabac, Beograd, Kragujevac, Niš, Pirot, Požarevac i Petnica.

Nauka ponedeljak 18.09. 14:27 Komentara: 1

Neponovljivi Isak Njutn

Među brojnim matematičarima koji su ostavili značajan trag u istoriji nauke, kao jedan od najznačajnijih, svakako se izdvaja Isak Njutn.Tu laskavu titulu Isak Njutn svakako je zaslužio zahvaljujući velikom doprinosu na polju matematike, fizike, astronomije i optike.

Nauka subota 16.09. 11:50 Komentara: 38
strana 1 od 145 idi na stranu