Benezetov eksperiment

Men are born ignorant, not stupid;
they are made stupid by schooling.

Bertrand Russell

Luis Pol Benezet

Pre skoro osamdeset godina, Luis Pol Benezet, školski nadzornik iz Mančestera (Nju Hempšir, SAD) je iz školskog programa nekoliko osnovnih škola potpuno isključio bilo kakvu formalnu matematiku sve do šestog razreda. Drugim rečima, učenici su tek u šestom razredu počinjali da uče sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje! Umesto računanja, učenici su vreme provodili u čitanju, pisanju i raznim diskusijama učeći pri tom matematiku samo u kontekstu konkretnog problema iz literature ili stvarnog života.

Benezet je bio mišljenja da je veština izražavanja na maternjem (u ovom slučaju engleskom) jeziku ozbiljno zanemarena; ne zbog jezika samog, već zbog sposobnosti učenika da artikulišu sopstvene misli. Učenici su zbog dinamike učenja retko kad imali priliku da opišu ono što su videli ili zamislili, a još manje da razvijaju veštine dijaloga i argumentovane diskusije. Primetite da pričamo o dinamičnom životu i prenatrpanom školskom programu tridesetih godina prošlog veka. Samo pomislite kako to danas izgleda.

Mentalna aritmetika

Kriterijum za formalnost matematike je bio sasvim jednostavan: problemi koji nisu mogli da se reše bez zapisivanja brojeva na papir ili tablu smatrani su preteškim za taj uzrast i njihovo rešavanje je odlagano za sledeću godinu. Dakle, od matematike je rađeno samo ono što se kod nas, krajnje pogrešno, zove računanje "napamet". Smisao te "mentalne aritmetike" je da stimuliše brže razmišljanje i da spreči decu da za razmišljanje koriste prste umesto glave.

Ukoliko neko od učenika nije uspevao da shvati problem i samostalno ga reši na jednostavan način, nastavnik je išao dalje, verujući da će se ta konkretna sposobnost rezonovanja sama razviti za godinu ili dve. Najvažnija stvar koju su nastavnici na ovaj način uradili je da izbegnu (ili barem odlože) opasnost da učenici neki matematički recept ili formulu prepoznaju kao jeftinu i potpuno mehaničku zamenu za razmišljanje.

Deca, dakle, nisu učila nikakve algoritme za računanje. Prosto, računanja na njihovim časovima nije ni bilo.

Više i niže

Onog trenutka kad se pojavila potreba da se identifikuju stranice u knjizi na kojima se nalazi tačno određeni tekst, naučili su da prepoznaju i čitaju brojeve do 100. U međuvremenu, učenici su dobili osnovne ideje poređenja i procenjivanja kroz razumevanje kontrastirajućih reči kao što su: više, manje; mnogo, malo; više, niže; pre, kasnije itd. Isto tako, kad se pojavila potreba da gledaju na sat i koriste kalendar, opet su uvođeni brojevi.

Benezetovi đaci su brojeve poznavali samo na nominalnom nivou. Za njih su to bila imena stranica u knjizi, kuća u ulici ili dana u mesecu. Iako ih tome niko nije posebno učio, učenici su sami shvatali smisao reči "pola", "dvaput" ili "trostruko". Velike brojeve su naučili da čitaju i pišu posmatrajući tablice automobila.

U prvih pet razreda osnovne škole, u kojima je sprovođen Benezetov program, jedina matematika koja je upražnjavana ticala se procenjivanja visine, rastojanja, površine, trajanja i slično; metode egzaktnijeg određivanja tih veličina nisu uvođene do šestog razreda.

Greh čitanja

Rezultati na testovima iz matematike koje se postizali učenici iz Benezetovih škola su u prvih pet razreda, jasno, bili dosta lošiji od onih koji su radili po tradicionalnom programu. Međutim, javila se mala razlika u korist ovih prvih u nekim drugim predmetima, baš zbog naglašeno razvijane veštine procenjivanja. Drastična razlika u korist Benezetovih đaka se – potpuno očekivano – javljala na testovima iz engleskog jezika.

Evo kako je sam Luis Benezet u svojoj seriji članaka o ovom eksperimentu opisao razliku između eksperimentalne i tradicionalno učene (kontrolne) grupe u domenu čitanja:

U tradicionalnim odeljenjima četvrtog razreda, kada sam pitao decu da mi kažu šta sad čitaju, bili su neodlučni, malo postiđeni i bez samopouzdanja. U jednom odeljenju nisam mogao da nađem čak ni jedno dete koje bi priznalo da je počinilo greh čitanja. Nisam imao ni jednog dobrovoljca, a kad sam pokušao da ih prozivam, ustajali bi, zavrteli glavom i ponovo seli. U četiri odeljenja eksperimentalnog četvrtog razreda deca su se skoro potukla da dobiju šansu da mi ispričaju šta su čitala.

U eksperimentalnoj grupi je tokom šestog razreda, neposredno pre nego što su počinjali sa rešavanjem aritmetičkih problema, od učenika uvek traženo da procene ili probaju da pogode rezultat. Kasnije su uvek računski dobijen rezultat upoređivali sa preliminarnom procenom. Nastavnici nisu dozvoljavali da se pojava matematičkih recepata u životima ovih đaka, iz ko zna kog razloga, preko noći degeneriše u mehaničko manipulisanje brojevima.

Šesti razred

Na testovima koje su radile obe grupe učenika, i one sa eksperimentalnim i one sa tradicionalnim programom, uočeno je da su ovi prvi bili u stanju da za samo četiri meseca tokom šestog razreda dostignu nivo matematičkih veština za koje su učenicima koji su matematiku radili na tradicionalan način bile potrebne godine matematičkog "drila". Očigledno, dugogodišnje iskustvo u mehaničkom manipulisanju brojevima nije predstavljalo nikakvu posebnu prednost.

Nenadoknadiva razlika je zapravo bila na strani eksperimentalne grupe koja je imala nekoliko godina prednosti u čitanju, pisanju, posmatranju i opisivanju sveta. Nastavnici u eksperimentalnog grupi su zbog ovako osmišljenog programa imali više vremena da se fokusiraju na razvijanje sposobnosti učenika da čitaju, razmišljaju i opisuju i zbog toga su ova deca su razvila veće interesovanje za literaturu, veći rečnik i lakoću u izražavanju.

Čuvari sistema

Stari sistem

Posle višegodišnjeg truda, 1936. godine, konzervativna većina u školskom odboru konačno je izglasala povratak na stari školski program, prekinula eksperiment i propisala udžbenik iz kog mora da se radi matematika. Dve godine kasnije, Luis Benezet je odlučio da se više ne kandiduje za nadzornika i tako otišao pravo u legendu.

Njegova procena da bi eksperiment trebalo realizovati u seoskim školama se pokazala kao dobra. Da je, kojim slučajem, otišao u neku gradsku školu gde su roditelji učenika akademski obrazovani, imao bi bujicu protesta i eksperiment nikada ne bi ni počeo. Ovaj obrazovni eksperiment je trajao praktično od 1925. do 1936. i danas je skoro sasvim zaboravljen.

Međutim, problem učenja bez razmišljanja o zadatku koji je Benezet pokušavao da reši je i dalje sa nama. Učenici i dalje probleme rešavaju mehanički, veštinom koja se razvija sa godinama školovanja, nemajući pri tom vremena da razvijaju i razumevanje samih problema. To što učenici mozak koriste samo za pamćenje recepata i nepotrebne faktografije nikoga od čuvara sistema nije interesovalo ni onda, kao ni sad.

Besmislena rutina

Argumentovano procenjivanje je izuzetno bitna sposobnost za bavljenje bilo kojom ljudskom delatnošću. Procenjivanje nam je potrebno i kad kupujemo polikolor za krečenje stana i kad bankama ukidamo određenu vrstu kredita da bi inflacija ostala na zacrtanom nivou.

Sa druge strane, ukoliko na osnovu podataka sa kojima raspolažemo nije moguće napraviti dobru procenu, onda to treba reći jasno i glasno. Nažalost, ta se sposobnost kod đaka inhibira sve vreme školovanja. Niko im ne traži procenu već samo egzaktan, pa makar i potpuno besmislen broj.

Kapacitet te besmislenosti se najbolje vidi na zadacima kao što je ovaj: "U stadu ima 125 ovaca i 5 pasa ovčara. Koliko godina ima čobanin?" Istraživanja pokazuju da na ovo pitanje čak tri četvrtine učenika nižih razreda daje brojčani odgovor!

Transkript koji je načinjen tokom jednog ovakvog ispitivanja otkriva određenu vrstu pogrešne slike o svrsi matematike koju, očigledno, ima većina dece: "125+5=130... to je previše, 125-5=120 je opet previše... ali 125/5=25. To ima smisla! Ja mislim da čobanin ima 25 godina!"

U dečijem svetu, matematika se doživljava kao niz pravila – tj. zbirka recepata – koje moramo da zapamtimo i primenimo na pravi način da bismo dobili tačno rešenje. Dakle, rezultat se dobija primenom odgovarajućeg niza računskih radnji, a ne razmišljanjem o problemu. Razmišljanje pokazuje nedostatak rutine, a to nikako nije dobro.

Ako opet pogledamo ono što piše u transkriptu, videćemo da ovaj nesrećni učenik zaista pokazuje određenu sposobnost rezonovanja. Ovde, ustvari, imamo na delu smislenu dedukciju koja se tiče čobanovih godina. Bez obzira na to što možda vidi besmislenost pitanja, učenik, očigledno, oseća bespogovornu obavezu da na pitanje odgovori brojem.

Ono što još više poražava su rezultati sličnih istraživanja koji pokazuju da procenat dece koja bez ikakvih problema odgovaraju na besmislena pitanja ovog tipa raste sa godinama školovanja. Ovo svakako ne znači da su deca glupa i da ne prepoznaju besmislicu. Oni su prosto naučeni da poslušno odgovore na pitanje bez obzira koliko se njegova logika kosila sa zdravim razumom.

Rešavanje jednačine

Rutina?

Sposobnost analiziranja problema i diskutovanja kako bi sve taj zadatak mogli da rešavamo je svakako važnija od sposobnosti da n-tocifrene brojeve množimo i delimo bez greške. Zadaci sa kojima ćemo se sresti jednog dana kad izađemo iz škole, bez obzira da li radili na pijaci ili na institutu, neće imati formu jednačine koju treba rešiti već nedorečene priče u kojoj tek treba prepoznati problem. Postavljanje problema je drugi korak, a primena nekog od poznatih metoda rešavanja tek treći.

Benezetov eksperiment bi danas bio još manje izvodljiv nego davne 1925. godine. Vremena su se taman toliko promenila, da je program po kom su radili njegovi đaci, praktično, nemoguće preraditi za potrebe ovog današnjeg okruženja. Čak i da smislimo takav program i da ga nekim čudom školske vlasti prihvate, ko kaže da bi u ovim uslovima dao dobre rezultate.

Mogli bismo, ipak, da izvučemo neke pouke. To, naravno, mora da uradi svako za sebe. Po meni to su sledeće tri stvari. Prvo, učenici nisu namenski pravljene mašine koje treba učiti algoritmima za rešavanje određenih precizno definisanih problema. Mnogo je bitnije naučiti ih da problem prepoznaju i da efektno razmišljaju o tome kako bi mogli da ga rešimo. Drugo, đake ne treba učiti očiglednim stvarima. Njih treba samo motivisati da uoče to očigledno i da ga što preciznije opišu svojim rečima. Treće, nikada se ne treba pouzdati u to da će školski sistem prepoznati nešto što je očigledno. Ljudi koji ga čine su proizvod istog tog sistema. Začarani krug svakako treba prekinuti. Samo kako?

Sugestije za dalje čitanje

1) Benezet, L. P., "The Teaching of Arithmetic I-III: The Story of an Experiment", Journal of the National Education Association vol. 24-25, 1935-1936, http://www.inference.phy.cam.ac.uk/sanjoy/benezet/three.html

2) Sanjoy Mahajan, "A Radical Experiment in Mathematics Teaching", http://www.inference.phy.cam.ac.uk/sanjoy/ihpst/benezet.pdf

3) Katherine K. Merseth, "How Old Is the Shepherd? – An Essay about Mathematics Education", Phi Delta Kappan, vol. 74 , March 1993, prism.mspnet.org/index.cfm/12723

4) Sanjoy Mahajan & Richard R. Hake, "Is it time for a science counterpart of the Benezet–Berman mathematics teaching experiment of the 1930’s?", 2005, http://arxiv.org/abs/physics/0512202